1. Statistische Angaben

4. Funktion der Stunde innerhalb der Unterrichtseinheit (UE)
Ziel des Kurses ist es, Schnittstellen zwischen der Mathematik und der Bildenden Kunst aufzuzeigen und sich mit ihnen in der Produktion und Reflexion auseinanderzusetzen (Eine ausführliche Ausführung hierzu findet sich im An-hang l.). Der Themenkomplex "Magische Quadrate und Zahlensymbolik" beinhaltet zum einen den geschichtli-chen und mathematischen Hintergrund, zum anderen die künstlerische Umsetzung der magischen Quadrate in der eigenen Praxis und in Beispielen aus der klassischen und modernen Kunst. In den ersten Stunden erarbeiteten sich die Sch. das Ordnungsschema eines Magischen Quadrates 3. Ordnung. In einer flächigen Arbeit wurden die Ziffern durch variierende Farbfeldkombinationen ersetzt und anhand der Er-gebnisse die Überschneidungspunkte der Mathematik und Kunst diskutiert. Anhand einer räumlichen Demonstration dieses Quadrates wurden die Möglichkeiten der Darstellung von Zahlen ohne deren Ziffern zu benutzen erarbeitet (durch kulturell oder individuell bestimmte Symbole, die abzählbare Anzahl von Elementen, Maße oder Kodierung). Die Sch. benannten die qualitativen Unterschiede zwischen einer flächigen und räumlichen künstlerischen Umsetzung in Bezug auf deren Inhalt, Wahrnehmung und Interpretati-on. In der letzten Stunde wurde damit begonnen, ein schriftliches Konzept für die künstlerische Umsetzung des Magischen Quadrates der 3. oder 4. Ordnung in den Raum zu erarbeiten. Für dieses Vorhaben erhalten die Sch. in dieser Stunde das mathematische Wissen, sich ein Magisches Quadrat der 4. Ordnung erstellen zu können. Das Konzept soll in der 2. Stunde fertiggestellt und nach den Herbstferien vorgestellt und besprochen werden, wobei die utopische Phantasie über der möglichen Reali-sierbarkeit stehen darf

5. Bemerkungen zur Lerngruppe
Der polyvalente Grundkurs "Kunst und Mathematik" setzt sich aus 10 Schülerinnen und 3 Schülern des 13. Jahr-gangs zusammen. Da der Kurs nicht der Abdeckung des Pflichtbereiches dient und der Großteil der Sch. aus dem Kunst- oder Mathematik-Leistungskurs stammt, ist anzunehmen, dass die Wahl des Kurses vor allem durch Eigeninteresse und Lust an der Themenkombination bestimmt ist. Bislang hat sich diese Einschätzung in den Unterrichtsgesprächen bestätigt. Fachlich qualifizierte Beiträge liefern Janne, Linn, Arne, Katja und Felix. Lena, Paul, Jenny, Jessica und Anna beteiligen sich unregelmäßiger an der Diskussion, können jedoch durchaus gute Inhalte beisteuern. Eher zurückhaltend verhalten sich Sandra, Wiebke und Tina. Insgesamt herrscht eine angenehme, fruchtbare Arbeitsatmosphäre, die sich sowohl in den Praxis- als auch Reflexionsphasen des Unterrichts zeigt.

6. Didaktische Analyse
Da keine Rahmenrichtlinien oder Fachkonferenzbeschlüsse für den polyvalenten Kurs "Mathematik und Kunst" existieren, sind die Inhalte und Schwerpunkte vom Lehrer frei zu bestimmen. Das Thema der UE "Magische Quadrate und Zahlensymbolik" bietet sich als Einstieg in den Kurs aus verschiedenen Gründen an. Zum einen erfordert es auf dem Gebiet der Mathematik keine speziellen Vorkenntnisse, ist aber durch seinen hohen Aufforderungscharakter für die meisten Sch., unabhängig von der Teilnahme am Grundkurs oder Leistungs-kurs in Mathematik, interessant. Zum anderen ist für die künstlerische Umsetzung des magischen Quadrates seine inhaltliche Abgeschlossenheit und formale Vollkommenheit von Bedeutung. Den Sch. wird ein ordnender Rahmen vorgegeben, ohne ihre indi-viduellen Entscheidungen über Zahlensymbole, Materialität oder Ausmaße der künstlerischen Arbeit einzuschränken. Logisch-folgerndes Denken und das eigenständige Bilden von Strategien zur Herstellung Magischer Quadrate 3. oder 4. Ordnung verbinden sich mit individuellen, kreativen, teilweise auch utopischen Ideen der materiellen künstlerischen Umsetzung. Ein Ziel des Kurses ist es sowohl mathematische Zusammenhänge als auch künstlerische Arbeiten durch die Erweiterung der eigenen Denkstrukturen und Betrachtungsweisen besser interpretieren zu können. In dieser Stunde sollen Magische Quadrate der Ordnung n = 4 behandelt werden. Es handelt sich hierbei um ein Quadrat mit 4 x 4 = 16 Feldern, in denen die natürlichen Zahlen 1 bis 16 so angeordnet werden, dass ihre Summe in jeder Spalte, Zeile und Diagonalen Jeweils s = 34 ergibt. Es gibt 880 verschiedene Magische Quadrate der 4. Ordnung, wobei alle Spiegelungen und Drehungen ausge-schlossen sind (vgl. Magie der Zahl, S.232 und Internetadresse 2): Ein französischer Mathematiker namens Frenicle de Bes-sy hat eine Tabelle mit 880 solcher Magischen Quadrate herausgegeben.). Zu ihrer Herstellung wurden über die Jahr-hunderte verschiedene Methoden von Wissenschaftlern und privaten Tüftlern entdeckt. Bisher ist es jedoch nicht gelungen, eine Methode zu finden, mit der alle Quadrate einer Ordnung zu erzeugen wären. So entdeckte der by-zantische Gelehrte Maschopulos (13.-14. Jh.) eine Konstruktionsregel für Magische Quadrate mit der Ordnung n = 4m, die zwar sehr einfach ist, aber immer nur ein Magisches Quadrat der jeweiligen Ordnung liefert (siehe Meschkowski, S.27ff). Weiterhin existieren algorithmische Methoden für die Ordnungen n =2m und n =2m +1, die jedoch in der Durchführung keinerlei Freiheiten zulassen (siehe unter der Internetadresse 2) und Olivastro, S. 138ff).
Die im Anhang 2 ausführlich beschriebene Methode(aus Kerst, S.9ff) habe ich daher aus den folgenden Gründen für das Stundenthema ausgewählt: - Die von mir vorzugebene Matrix ordnet die Zahlen l - 16 in Untergruppen, so dass ihre Kombinationsmög-lichkeiten nach vollziehbar eingeschränkt werden. Ein reines Probieren mit den Zahlen 1-16 würde in der Stunde, wenn ü-berhaupt, nur zufällig zum Ziel führen, so dass die Lenkung in diesem Bereich notwendig ist. - Die Methode lässt verschiedene Lösungsmöglichkeiten zu und kann in ihrer Offenheit trotzdem optimiert werden. Es geht darum, einen geschickten Anfang für die ersten Ziffern zu finden, um mit geringer Fehlerwahrschein-lichkeit ans Ziel zu gelangen. Dabei sind verschiedene Strategien möglich, die von den Sch. entdeckt und arbeitsteilig auf ihre Tauglichkeit hin überprüft werden sollen. Im Laufe des Unterrichts können verschiedene Fragestellungen auftauchen: Funktioniert der angewandte Algo-rithmus immer? Gibt es weitere Magische Quadrate 4. Ordnung, die ich mit dieser Methode nicht herstellen kann? Gibt es für diese Quadrate auch weitere Methoden? Das Thema schneidet allgemeine mathematische Fragen an, wie die der Beweistauglichkeit oder der hinreichenden und notwendigen Bedingung, ohne das diese Begrifflich-keiten von den Sch. verwenden werden müssen. Am Ende der Stunde sollen die Sch. in der Lage sein, ihr eigenes Magisches Quadrat 4. Ordnung herzustellen, wobei mit der vorgegebenen Matrix in einem gewissen Rahmen individuelle Zahlenkombinationen möglich sind.

7. Didaktische und methodische Aufbereitung
Über einen Rückbezug auf die letzte Stunde erarbeiten sich die Sch. das aktuelle Thema. Ihr letzter Arbeitsauftrag lautete, ein Konzept für die künstlerische Umsetzung eines Magischen Quadrates 3. oder 4. Ordnung in den Raum zu entwickeln, so dass es in dieser Stunde um die Herstellung dieses Magischen Quadrates 4. Ordnung gehen soll. Ein Zitat vom nigerianischen Gelehrten Mohammed ibn Mohammed (zit. nach Olivastro, S. 138, ursprüngl. Mohammed: Eine Abhandlung über den magischen Gebrauch der Lettern) soll zur nötigen Lust und Ausdauer oder einfach nur zum Schmunzeln anregen:
"Gib nicht auf, denn das ist Dummheit und entspricht nicht den Regeln dieser Kunst. Wer die Kunst des Krieges und Tötens kennt, kann sich nicht vorstellen, welche Qualen derjenige leidet, der diese ehrenwerte Wissenschaft praktiziert. Wie der Liebhaber kann man sich nur mit unermüdlicher Ausdauer einen Erfolg verschaffen."
Im folgenden Unterrichtsgespräch können die Sch. durch ihr Vorwissen die geforderte Zeilensumme s = 34 herleiten. Anhand einer farbigen Folie erkläre ich eine mögliche Lösungsstrategie durch die vorgegebene Kon struktionsmatrix, mit deren Hilfe ein Magisches Quadrat 4. Ordnung zu erstellen ist. Es stellt sich hierbei die Frage nach einem sinnvollem Anfang und welche Rolle dabei strategisch wichtige Punkte spielen (jeweils die 4 Felder der Diagonalen, der Eckpunkte oder der Mitte des Quadrates, da sie sowohl Teil einer Zeile, Spalte und Diagonalen sind). Diese Fragen sollten im Unterrichtsgespräch diskutiert werden, um alle Sch. vorschlage an der Tafel aufnehmen zu können. Die Überprüfung dieser Ansätze er-folgt arbeitsteilig, wobei ich angesichts der Größe, Altersstufe und Selbstständigkeit des Kurses die Sch. die Sozialform selber wählen lassen werde. Mit der Hilfe von Arbeitsblatt 1 halten die Sch. ihre einzelnen Lösungsschritte fest. Hierdurch soll ihr logisch-folgerndes, strukturiertes Denken unterstützt und Ideen oder gescheiterte Wege bewusster reflek-tiert werden. Die Ergebnisse und erkannten Strukturen werden in der Sicherungsphase von einzelnen Sch. auf eine Folie übertragen und vorgestellt, so dass ein strukturiertes, verständliches Vortragen geübt wird. Die Regeln werden von mir an der Tafel zusammengefasst und von den Sch. übernommen. Im Laufe der Stunde auftauchende Fragen zur Allgemeintauglichkeit der Methode, der Existenz weiterer Methoden oder anderer Magischer Quadrate 4. Ordnung werden von mir an der Tafel notiert. Die meisten werden in der Stunde aus zeitlichen und fachlichen Gründen nicht zu beantworten sein, doch dienen sie dazu, das Problembewusstsein der Sch. zu schärfen und sich mit diesen Fragen durch Literaturrecherche oder eigenes Knobeln weiter zu beschäftigen (offene Hausaufgabe).

In der 2. Erarbeitungsphase geht es um die Frage, ob sich mit dem vorgegebenen Schema alle 880 Magi-schen Quadrate der 4. Ordnung finden lassen. Als Kontrollbeispiel dient das Magische Quadrat aus dem Kupferstich "Melencolia I" von Albrecht Dürer. Die Sch. sollen nun die Ziffern l bis 16 des Dürer-Quadrates in die Kodierungsziffern transformieren und erkennen, dass sich das Schema auf den ersten Blick nicht anwenden lässt. Doch bei genauerem Hinsehen lassen sich dessen Kombinationsmöglich-keiten erweitern: 6x4 entsteht auch durch 2x2x4 + 2x1x4 (also 2x III + 2xII) oder 2x3x4 + 2x0x4 (also 2x IV + 2xI), die Summe 10 erhalte ich auch durch 1+1+4+4 oder durch 2+2+3+3. Eine mündliche Hilfestellung könnte dabei lauten: "Schreibt jeweils die Zeilen und Spalten als zusam-mengesetzten Term auf." So bleibt die Frage, ob sich durch das Schema alle Magischen Quadrate der 4. Ordnung herstellen lassen, zwar unbeantwortet aber es wurde anhand des Dürer-Beispiels um eine wei-tere wichtige Kombination erweitert. Je nach Zeit wenden die Sch. ihr erlangtes Wissen in dieser oder der folgenden Stunde dazu an, ein ma-gisches Quadrat der 4. Ordnung herzustellen, wobei sie die Positionen einiger Zahlen individuell festle-gen können. Dieses Ergebnis wird mit in die Konzepterstellung für die künstlerische Umsetzung eines Magischen Quadrates in den Raum einfließen.

Einstieg/Motivation
L. verweist auf den Arbeitsauftrag der letzten Stunde und lässt damit die Sch. das Thema selber herleiten. Ein Zitat des Gelehrten Mohammed (Entwurf S.4) dient zur motivierenden Einstimmung Erarbeitung I
Sch. leiten die Summe s = 34 her, die in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen auftreten muss. L. erklärt die vorgegebene Matrix, die das Herstellen eines Magischen Quadrates 4. Ordnung erleichtern soll. L. fragt nach möglichen Anfängen der Verteilung der Zifferkombinationen. Mögliche Antworten: Ausprobieren / die erste Zeile belegen / erst alle I, dann alle II, dann... verteilen / die 4 Felder der Diagonalen, der Eckpunkte oder der Quadratmitte jeweils zuerst belegen, da diese sowohl in einer Zeile, Spalte und Diagonalen vorkommen. L.: "Wie kann ich überprüfen, welcher Anfang am erfolgreichsten ist?"